[MATEMATICAS] SOLUCIÓN DEL MODELO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Voy a explicar un poco “ir más allá” sobre la investigación de operaciones.

En la investigación de operaciones no se tiene una sola técnica general con la que se resuelvan todos los modelos matemáticos que surgen en la práctica. La complejidad del modelo matemático determina la naturaleza del método de solución.

Hay varias técnicas utilizadas para la solución de problemas de investigación de operaciones, tales como programación entera, programación dinámica, programación de red y la programación no lineal, pero la principal es la programación lineal. Se diseña para modelos con funciones objetivo y restricciones estrictamente lineales.

En realidad por lo general las soluciones no se obtienen en forma cerradas, es decir, parecidas a fórmulas. Se determinan mediante algoritmos. Un algoritmo proporciona reglas fijas de cómputo que se aplican en forma repetitiva al problema, y cada repetición (llamada iteración) obtiene una solución cada vez más cercana a la óptima.

Algunos modelos matemáticos pueden ser tan complicados que es imposible resolverlos con cualesquiera de los algoritmos disponibles de optimización. En esos casos se podrá necesitar abandonar la búsqueda de la solución óptima para sólo buscar una solución buena usando heurísticas o reglas simples.

En realidad son más que sólo matemáticas, pero debido a la naturaleza matemática, hay una tendencia a pensar que un estudio de investigación de operaciones siempre tiene en su raíz al análisis matemático. No debe recurrir de inmediato a los modelos matemáticos, sino hasta después de haber investigado métodos más sencillos. En algunos casos se podrá encontrar una solución “de sentido común” mediante observaciones sencillas.

El elemento humano afecta en forma invariable la mayor parte de los problemas de decisiones, podría ser clave un estudio de la psicología o neurociencia para resolver el problema.

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

 Se basa en la labor de equipo, donde los analistas de investigación de operaciones y el cliente trabajan juntos.

La investigación de operaciones es una ciencia y un arte. Es una ciencia por las técnicas matemáticas que presenta, y es un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático depende mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de investigación de operaciones. Hay que tener algo más que la competencia analítica, por ejemplo, el juicio (cuándo y cómo usar determinada técnica) y la destreza técnica en comunicaciones y en supervivencia organizacional.

Las fases principales de la implementación de la investigación de operaciones en la práctica comprenden:

1. La definición del problema: Definir el alcance del problema que se investiga. Su resultado final será identificar tres elementos principales del problema de decisión, que son: 1) la descripción de las alternativas de decisión; 2) la determinación del objetivo del estudio; 3) la especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

1. La construcción del modelo: Traducir la definición del problema a relaciones matemáticas. El equipo de analistas podrá definir las mejores herramientas matemáticas para la solución del problema.
2. La solución del modelo.

3. La validación del modelo: Comprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere que haga, eso es, ¿predice el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se estudia? Hay que verificar si el resultado no incluya “sorpresas”.  Hay que utilizar datos pasados para comprobar si el modelo funciona.
4. La implementación de la solución: Implica la traducción de los resultados a instrucciones de operación, emitidas en forma comprensible para las personas que administrarán al sistema recomendado.

La número 3 solución del modelo es la que está mejor definida y es la más fácil de implementar en un estudio de investigación de operaciones, porque maneja principalmente modelos matemáticos precisos. La implementación de las demás fases es un más un arte que una teoría.

[MATEMATICA] Programacion matematica 3

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una herramienta que tiene enfoque en la solución de problemas. Problemas de programación lineal son de optimización.

Es tan útil que ayuda a los gerentes a tomar decisiones como:

• Fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de dentas en periodos futuros.
• Solución para problemas de inversión
• Etc.

Problema simple:
Se desea preparar una bebida de naranja al mezclar refresco y jugo de naranja, bajo las restricciones:

1. La bebida debe ir en 10 botellas.
2. Tener como máximo 4 onzas de azúcar, cada onza de jugo contiene 0.25 onza de azúcar y cada onza de refresco contiene 0.5 onza de azúcar.
3. Debe contener por lo menos 20mg de vitamina “C”. Cada onza contiene 1mg y cada onza de refresco contiene 3mg de vitamina C.
4. Cada onza de jugo cuesta $3 y cada onza de refresco cuesta $2.

¿Qué  cantidad de jugo y de refresco debe llevar la bebida a preparar?

 

 

MODELO MATEMATICO DEL PROBLEMA

2 variables:

• X = Cantidad de jugo que llevará la bebida
• Y = cantidad de refresco que llevará la bebida.
• x,y >=0

Función objetivo:

• onza de jugo = 3
• onza de refresco = 2
• f.o = 3x + 2y

Restricciones:

• Azúcar: 0.25x + 0.5y <= 4
• Vitamina C: x + 3y <= 20
• Liquido por botella: x + y = 10

[MATEMATICA] Programación matemática 2

CONSULTORIA DE OPERACIONES

Ayuda a desarrollar estrategias de operaciones y a mejorar procesos de producción y mejorando la competitividad de la empresa en el mecado.

Los propios mercados piden una reingeniería de los procesos fundamentales eliminando algunos que no son fundamentales.

La industria de la consultoria es clasificada de 3 formas:

1. Por tamaño: la mayoría son pequeñas, con poca facturación.
2. Por especialización: por función (ej. Adm. De operaciones), o por industria.
3. Por consultores internos y externos: si la empresa tiene su propia consultoria o requiere de servicios externos.

En algunos casos se puede clasificar en utilización de estrategias o en proyectos técnicos y de implantación.

¿Cuándo es necesaria la consultoria de operaciones?

• Para la planta: por ejemplo buscar nuevas plantas, o ampliaciones, reducciones, etc
• Personal: mejoramiento de la calidad, análisis de curva de aprendizaje, etc.
• Partes: decidir entre comprar o hacer, o sobre selección de vendedores.
• Procesos: evaluación de la tecnología, mejoramiento de procesos y REINGENIERIA
• Planeación y control: administrar la cadena de suministros, almacenamiento, etc.

¿Cuándo son necesarios los consultores de operaciones?

• Decisiones de inversión
• Baja eficiencia de la producción

PROCESO

• Los pasos son los mismos que para una consultoría de administración
• Diferencias: naturaleza del problema, métodos analíticos a emplear

HERRAMIENTAS UTILIZADAS EN LA DEFINICIÓN DE PROBLEMAS:

• Árboles de aspectos: se trazan mapas de los problemas a investigar
• Encuestas al cliente: se pueden lograr ideas del desempeño del proceso, concepto de leatad (mide el desempeño de la organización).
• Análisis de brecha: evalúa el desempeño de los clientes en relación con las expectativas de sus consumidores
• Encuestas a los empleados: desde encuestas de satisfacción hasta encuestas de sugerencias.
• Modelo de las 5 fuerzas: evalúa la posición competitiva de la empresa. Otra herramienta es el análisis FODA.

[MATEMÁTICAS] Estadística 10 – ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS (A.E.D.) 1

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS (A.E.D.)

La finalidad del Análisis Exploratorio de Datos (AED) es examinar los datos previamente a la aplicación de cualquier técnica estadística. De esta forma el analista consigue un entendimiento básico de sus datos y de las relaciones existentes entre las variables analizadas.

El AED proporciona métodos sencillos para organizar y preparar los datos, detectar fallos en el diseño y recogida de datos, tratamiento y evaluación de datos ausentes, identificación de casos atípicos y comprobación de los supuestos subyacentes en la mayor parte de las técnicas multivariantes.

INTRODUCCIÓN

¿Existe algún tipo de estructura (normalidad, multimodalidad, asimetría, curtosis, linealidad, homogeneidad entre grupos, homocedasticidad, etc.) en los datos que voy a analizar?

¿Existe algún sesgo en los datos recogidos?

¿Hay errores en la codificación de los datos?

¿Cómo se sintetiza y presenta la información contenida en un conjunto de datos?

¿Existen datos atípicos (outliers)? ¿Cuáles son? ¿Cómo tratarlos?

¿Hay datos ausentes (missing)? ¿Tienen algún patrón sistemático? ¿Cómo tratarlos?

OBJETIVOS

1)      Definir qué es el Análisis Exploratorio de Datos (A.E.D.) y cuáles son sus objetivos.

2)      Indicar cuáles son las etapas a seguir en la realización de un A.E.D.

3)      Seleccionar los métodos gráfico y numérico apropiados para examinar las características de los datos y/o relaciones de interés.

4)      Comprobar si se verifican algunas hipótesis de interés en los datos (normalidad, linealidad, homocedasticidad).

5)      Identificar casos atípicos univariantes, bivariantes y multivariantes.

6)      Comprender los diferentes tipos de datos ausentes y evaluar su impacto potencial.

APARTADOS

1)      ¿Qué es el Análisis Exploratorio de Datos (A.E.D.)?

2)      Etapas del A.E.D.

3)      Preparación de los Datos

4)      Análisis Estadístico Unidimensional

5)      Estudio de la Normalidad

6)      Análisis Estadístico Bidimensional

7)      Datos Atípicos (outliers)

8)      Datos Ausentes (missing)

CONTENIDOS

1. ¿QUÉ ES EL ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS?
   Es un conjunto de técnicas estadísticas cuya finalidad es conseguir un entendimiento básico de los datos y de las relaciones existentes entre las variables analizadas. Para eso proporciona métodos sistemáticos sencillos para organizar y preparar los datos, detectar fallos en el diseño y recogida de los mismos, tratamiento y evaluación de datos ausentes (missing), identificación de casos atípicos (outliers) y comprobación de los supuestos subyacentes en la mayor parte de las técnicas multivariantes (normalidad, linealidad, homocedasticidad).
   El examen previo de los datos es un paso necesario, que lleva tiempo, y que habitualmente se descuida por parte de los analistas de datos. Las tareas implícitas en dicho examen pueden parecer insignificantes y sin consecuencias a primera vista, pero son una parte esencial de cualquier análisis estadístico.
2. ETAPAS DEL A.E.D.
   Para realizar un A.E.D. conviene seguir las siguientes etapas:
   1) Preparar los datos para hacerlos accesibles a cualquier técnica estadística.
   2) Realizar un examen gráfico de la naturaleza de las variables individuales a analizar y un análisis descriptivo numérico que permita cuantificar algunos aspectos gráficos de los datos.
   3) Realiza un examen gráfico de las relaciones entre las variables analizadas y un análisis descriptivo numérico que cuantifique el grado de interrelación existente entre ellas.
   4) Evaluar, si fuera necesario, algunos supuestos básicos subyacentes a muchas técnicas estadísticas como, por ejemplo, la normalidad, linealidad y homocedasticidad.
   5) Identificar los posibles casos atípicos (outliers) y evaluar el impacto potencial que puedan ejercer en análisis estadísticos posteriores.
   6)Evaluar, si fuera necesario, el impacto potencial que pueden tener los datos ausentes (missing) sobre la representatividad de los datos analizados.
3. PREPARACIÓN DE LOS DATOS
   El primer paso es hacer accesible los datos a cualquier técnica estadística. Ellos conlleva la selección del método de entrada (por teclado o importados de un archivo) y codificación de los datos así como la de un paquete estadístico adecuado para procesarlos.
   Los paquetes estadísticos son conjuntos de programas que implementan diversas técnicas estadísticas en un entorno común. Algunos de los más utilizados son, SAS, BMDP, SPSS, SYSTAT, STATISTICA, STATA y últimamente MINITAB, S-PLUS, EVIEWS, STATGRAPHICS y MATLAB.
   La codificación de los datos depende del tipo de variable. Los paquetes estadísticos existentes en el mercado proporcionan diversas posibilidades (datos tipo cadena, numéricos, nominales, ordinales, etc)
   La inmensa mayoría de los paquetes estadísticos permite realizar manipulaciones de los datos previas a un análisis de los mismos. Algunas operaciones útiles son las siguientes:-Combinar conjuntos de datos de dos archivos distintos
   -Seleccionar subconjuntos de los datos
   -Dividir el archivo de los datos en varias partes
   -Transformar variables
   -Ordenar casos
   -Agregar nuevos datos y/o variables
   -Eliminar datos y/o variables
   -Guardar datos y/o resultados

   Finalmente, y con el fin de aumentar la inteligibilidad de los datos almacenados, conviene asociar a la base de datos utilizada, un libro de códigos en el que se detallen los nombres de las variables utilizadas, su tipo y su rango, su significado así como las fuentes de donde se han sacado los datos. Todos los paquetes anteriormente citados permiten esta posibilidad.

[MATEMÁTICAS] Estadística 9 – Intervalo de clase, Número de Intervalos, Amplitud y Marca

Es la clasificación de los datos de una muestra en grupos definidos, también se le llama clase:

I_i = [a;b[

donde a es el Límite inferior y b es el Límite superior.
A este intervalo de clase pertenecen los datos x que cumplen la condición:
a <= x <b

 NÚMEROS DE INTERVALOS DE CLASE (k)
Para obtener un valor aproximado, podemos emplear la regla de ¨STURGES¨.

k = 1 + 3,3logN

donde N es el númer de elementos de la muestra.

AMPLITUD DE IN INTERVALO DE CLASE (C)
Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo determinado.

I_i = [a;b[, entonces C = b – a

También podemos aplicar:

Donde:
R: Rango
k: número de intervalos de clase.

MARCA DE CLASE DE UN INTERVALO DE CLASE (X_i)
Es el valor que representa a un intervalo de clase.

Sea:

Ejemplo:
Tomando como base los puntajes obtenidos por 50 estudiantes que fluctúan entre 38 y 102 puntos, hallar R, k, C e I_i.

Observamos que si cada intervalo tiene una amplitud de 10, el rango seria 7 x 10 = 70; pues notamos que es mayor que el rango real (R = 64), entonces se determina el exceso (70 – 64 = 6), el que se distribuye en los extremos, ampliándolos en (6 : 2 = 3) nidades a cada uno, asi:

Extremo izquierdo
38 – 3 = 35

Extremo derecho
102 + 3 = 105

Luego:

I1 = [35;45[
I2 = [45;55[
I3 = [55;65[
I4 = [65;75[
I5 = [75;85[
I6 = [85;95[
I7 = [95;105[

[MATEMÁTICAS] Estadística 8 – Ejercicios Frecuencia Estadística

1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

1 Comida Favorita.

2 Profesión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

4 Número de alumnos de tu Instituto.

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

3 Período de duración de un automóvil.

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

5 Número de hijos de 50 familias.

6 Censo anual de los españoles.

3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.

1 La nacionalidad de una persona.

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

3 Número de libros en un estante de librería.

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

5 La profesión de una persona.

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	[50, 60)	[60, 70)	[70, 80)	[80,90)	[90, 100)	[100, 110)	[110, 120)
fi	8	10	16	14	10	5	2

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi	61	64	67	70	73
fi	5	18	42	27	8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

10.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

11 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

12 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

13. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

14 Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

 

	fi
[38, 44)	7
[44, 50)	8
[50, 56)	15
[56, 62)	25
[62, 68)	18
[68, 74)	9
[74, 80)	6

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

15. Dadas las series estadísticas:

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Calcular:

La moda, la mediana y la media.

La desviación media, la varianza y la desviación típica.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 2º y 7º.

Los percentiles 32 y 85.

16. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, 30)	[30, 35)
fi	3	5	7	4	2

Hallar:

La moda, mediana y media.

El rango, desviación media y varianza.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 3º y 6º.

Los percentiles 30 y 70.

17. Dada la distribución estadística:

	[0, 5)	[5, 10)	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, ∞)
fi	3	5	7	8	2	6

Calcular:

La mediana y moda.

Cuartil 2º y 3º.

Media.

[MATEMÁTICAS] Estadística 7 – Ejercicio 2

Iván Jerónimo es un alumno de la UNAM y ha participado en los concursos deportivos
que la Institución organiza cada año. Iván es un corredor de los cien metros planos y
cada vez que corre se impone un nuevo récord.
Los tiempos que ha establecido se muestran en la siguiente tabla:

No. De Participaciones	Tiempo en segundos
1	11.2
2	10.8
3	10.8
4	10.6
5	10.5
6	10.4
7	10.3

Analiza el ejemplo de los maestros y en base a estos conceptos, contesta en la línea las
siguientes preguntas de este ejemplo:
– ¿Cuántas observaciones se tienen? _______________________________________
– ¿Cuántos datos son del problema? _______________________________________
– ¿Cuántos elementos tiene la muestra? ____________________________________
– ¿Cuál sería la población? _______________________________________________

[MATEMÁTICAS] Estadística 6 – Aplicaciones de la Estadística

¿En qué áreas se aplica la Metodología Estadística?
La metodología estadística se emplea en muchos campos. Se ha visto que la estadística es una disciplina que ayuda a diseñar el esquema de búsqueda y registro de información para describirla y analizarla con facilidad y mediante estimaciones, obtener conclusiones que enriquecen el conocimiento de la realidad.

La estadística día a día gana terreno en su aplicación en toda actividad humana por simple que ésta sea. La estadística se aplica en los programas de Gobierno, Ingeniería, Agronomía, Economía, Medicina, Biología, Psicología, Pedagogía, Sociología, Física, etcétera; no hay alguna ciencia que no la use o profesión que no la aplique.
Algunos ejemplos del uso de la estadística son:

1) En las agencias gubernamentales, tanto federales como estatales utilizan la estadística para realizar planes y programas para el futuro.
2) En el campo de la ingeniería se aplica en muchas de sus actividades tales como:
a) La planeación de la producción.
b) El control de calidad.
c) Las ventas.
d) El almacén, etcétera.
3) En la Sociología se aplica para comparar el comportamiento de grupos socioeconómicos y culturales y en el estudio de su comportamiento.
4) En el campo económico su uso es fundamental para informar el desarrollo económico de una empresa o de un país que da a conocer los índices económicos relativos a la producción, a la mano de obra, índices de precios para el consumidor,
las fluctuaciones del mercado bursátil, las tasas de interés, el índice de inflación, el costo de la vida, etcétera. Todos estos aspectos que se estudian, se reportan e informan, no solamente describen el estado actual de la economía sino que trazan y predicen el camino de las futuras tendencias. Así mismo sirve a los encargados de las agencias, para
tomar decisiones acertadas en sus operaciones.

5) En el campo demográfico la Estadística se aplica en los registros de los hechos de
la vida diaria, tales como:
• Nacimientos.
• Defunciones.
• Matrimonios.
• Divorcios.
• Adopciones.
• Etcétera.

En materia de población los datos aportan una buena ayuda para fijar la política de estímulos al control de la natalidad, dirigir la inmigración o emigración, establecer los planes de lucha contra las enfermedades epidémicas o plagas que azotan los campos, etcétera.

6) En el campo educativo la Estadística contribuye al conocimiento de las condiciones fisiológicas, psicológicas y sociales de los alumnos y de los profesores. Al perfeccionamiento de los métodos de enseñanza y de evaluación.

7) Industria. La mayor parte de los industriales la utilizan para el control de calidad.

8) Agricultura. Se emplea en actividades como experimentos sobre la reproducción de plantas y animales entre otras cosas. También se usa la Estadística para determinar los efectos de clases de semillas, insecticidas y fertilizantes en el campo.

9) Biología. Se emplean métodos estadísticos para estudiar las reacciones de las plantas y los animales ante diferentes períodos ambientales y para investigar la herencia. Las leyes de Mendel sobre la herencia en donde los factores hereditarios se atribuyen a unidades llamadas genes y al estudio sistemático de los cruzamientos entre individuos portadores de genes diferentes, lo que ha permitido precisar de qué manera los genes se separan o se reúnen en las generaciones sucesivas. La verificación de las hipótesis formuladas por Mendel y sus continuadores necesitó el empleo de la Estadística, la cual en este caso ha lanzado las primeras luces sobre el mecanismo de la herencia.

10) Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de fármacos se analizan por medio de métodos estadísticos. Los médicos investigadores se ayudan del análisis estadístico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La
Estadística también se aplica en el establecimiento y evaluación de los procedimientos de medida o clasificación de individuos con el propósito de establecer la especificidad y sensibilidad a las enfermedades.

11) Salud. Los técnicos de la salud la utilizan para planear la localización y el tamaño de los hospitales y de otras dependencias de salud. También se aplica en la investigación sobre las características de los habitantes de una localidad, sobre el diagnóstico y la posible fuente de un caso de enfermedad transmisible; sobre la proporción de personas enfermas en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la proporción de enfermos de influenza en
dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y el otro no. También se aplica en cualquier otro tipo de investigación similar a éste.

12) Psicología. Los psicólogos se valen de los conceptos y técnicas de la estadística para medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre.

13) Negocios. Los hombres de negocios pueden predecir los volúmenes de venta, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, etcétera.

14) En la Física se utiliza la Estadística para obtener datos y probar hipótesis.

[MATEMÁTICAS] Estadística 5 – Rango (R)

Rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de la muestra.

R = x_máx – x_min

Ejemplo:
Para la primera muestra (0, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 0 y el dato mayor es 100, por lo que sus valores se encuentran en un rango de:

Rango = 100 – 0 =100

[MATEMATICAS] Estadística 4 – Ejercicio 1

Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:

li-1 – li	ni (frecuencia relativa)	fi (frecuencia absoluta)	Ni (Frecuencia absoluta acumulada)
0 – 10	60	f1	60
10 – 20	n2	0,4	N2
20 – 30	30	f3	170
30 – 100	n4	0,1	N4
100 – 200	n5	f5	200
n