[MATEMÁTICA] ¿Para qué me sirve las matemáticas?

Publicado: octubre 3, 2011 en Matemática

Con mucha frecuencia los alumnos preguntan a sus maestros ¿y esto para qué sirve? y creo que no es una mala pregunta.
En realidad, los profesores de matemáticas deben se preocupar también con las aplicaciones prácticas.
Voy a intentar enseñar algunas cosas prácticas de la vida cotidiana utilizando Álgebra Lineal.

Trés propietarios de casa – albañil, electricista y hidráulico – quieren arreglar sus casas.  Ellos quieren trabajar en lo máximo 10 dias de acuerdo a la tabla abajo:

 

Trabajo hecho por

Albañil

Electricista

Hidráulico

Días de trabajo en la casa del albañil

2

1

6

Días de trabajo en la casa del electricista

4

5

1

Días de trabajo en la casa del hidráulico

4

4

3

Por impuestos, tienen que declarar y pagar un otro sueldo por el trabajo que cada uno hizo en su propia casa. Sus pagos diarios seran de S/. 100.00, pero ellos quieren ajustar sus sueldos diarios de forma que sean lo mismo, o sea, que el total pago para cada uno sea igual al total recibido. Entonces se queda así:

p1 = sueldo diario del albañil
p2 = sueldo diario del electricista
p3 = sueldo diario del hidráulico

Para que los sueldos sean “equilibrados”, entonces,

total de gastos = total recibido

para cada uno de ellos por el periodo de diez días.  Por ejemplo , el albañil paga un total de 2p1 + p2 + 6p3 por los arreglos en su propia casa y recibe un total de 10p1 por los arreglos de hizo en las trés casas. Igualando estas expresiones tenemos la primera de las trés ecuaciones siguientes:

2p1 + p2 + 6p3 = 10p1
4p1 + 5p2 + p3 = 10p2
4p1 + 4p2 + 3p3 = 10p3

Las dos otras ecuaciones son las ecuaciones de equilibrio para el electricista y el hidráulico.
Dividiendos estas ecuaciones entre 10 y reescribiendo en forma de matriz, obtenemos:

0.2 0.1 0.6    p1       p1
0.4 0.5 0.1    p2  =  p2
0.4 0.4 0.3    p3       p3             (1)

Restando el lado izquiero del derecho, podemos reescribir la ecuación (1) como un sistema homogéneo.

0.8   -0.1  -0.6    p1         0
-0.4   0.5   -0.1   p2   =   0
-0.4  -0.4   0.7   p3          0

La solución de este sistema homogéneo es:

p1                 31
p2   =   s     32
p3                36

donde s é una constante arbitraria. Esta constante es un factor de escala que los propietarios pueden elegir de acuerdo a su conveniencia. Por ejemplo, pueden poner s = 3, para que los sueldos diarios, es decir,  S/ 93, S/ 96 y S/ 108 son aproximadamente S/. 100.00.
Este ejemplo ilustra las principales características del modelo de Leontief de output-input. En la ecuación fundamental (1), la suma de cada clumna de la matriz de coeficientes es 1, que corresponde al hecho de que el producto (“output”) de la obra de cada uno de los propietarios, es totalmente distribuida entre los mismos propietarios en las proporciones indicadas por las entradas de la columna. Nuestro problema es determinar el “precio” de estas obras para poner este sistema en equilibrio, o sea para que el gasto total de cada propietarios sea igual al total recibido en sueldo.

 

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