[MATEMATICAS] Estadística 3 – Frecuencia estadística

Se llama frecuencia a la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable, es decir, el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

• Frecuencia absoluta (f_i): número de elementos de una muestra que presenta un mismo valor. La suma de todas las frecuencias absolutas de una muestra es igual al número total de elementos.
  Ejemplo:
  En la sección del 5.° de secundaria estudian 35 alumnos, de los cuales 8 tienen 15 años, 18 tienen 16 años y 9 tienen 17 años, luego:
  f(15) = 8
  f(16) = 18
  f(17) = 9f(15) + f(16) + f(17) = 35
• Frecuencia relativa (n_i): Es el cociente entre la frecuencia absoluta(f_i) y el número de elementos de la muestra (N).
  Se puede expresar en tantos por ciento, multiplicado por 100% respresenta el porcentaje de la población que comprende esa clase.
  Ej:
  En la sección del 5.° de secundaria estudian 35 alumnos, de los cuales 17 son hombres y el resto son mujeres, luego:h(hombres) = 17/35
  h(mujeres) = 18/35h(hombres) + h(mejeres) = 1
• Frecuencia absoluta acumulada (F_i): Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Sean f₁, f₂, f₃, f₄,…,f_n frecuencias absolutas

F₁ = f₁
F₂ = f₁ + f₂
F₃ = f₁ + f₂ + f₃
F_n = f₁ + f₂ + f₃ + … + f_n

            _{Ej. En la sección del 5.° de secundaria estudian 35 alumnos, de los cuales btuvieron las siguientes notas en el último examen              de Matemática: 5 obtuvieron 10 de nota, 8 obtuvieron 13 de nota, 9 obtuvieron 15 de nota, 10 obtuvieron 16 de nota y el resto  obtuvo 20 de nota, entonces}

Sean:
Nota 10: f₁ = 5
Nota 13: f₂ = 8
Nota 15: f₃ = 9
Nota 16: f₄ = 10
Nota 20: f₅ = 3

Luego:
F₁ = f₁ = 5
F₂ = f₁ + f₂  = 5 + 8 = 13
F₃ = f₁ + f₂ + f₃ = 5 + 8 + 9 = 22
F₄ = f₁ + f₂ + f₃ + f₄ = 5 + 8 + 9+ 10 = 32
F₅ = f₁ + f₂ + f₃ + f₄ + f₅ = 5 + 8 + 9+ 10 + 3 = 35

• Frecuencia relativa acumulada (H_i): Es el resultado de sumar las frecuencias relativas de una muestra.H1 = h_{1
  H2} = h₁ + h_{2
  H3} = h₁ + h₂ + h_{3
  Hn} = h₁ + h₂ + h₃ + … + h_n
  Ejemplo: De un total de 30 turistas, sabemos que: 18 hablan solo inglés, 10 hablan solo francés y 2 hablan solo ruso.
  Entonces:
  H₁ = h₁ = 18/30
  H₂ = h₁ + h₂ = 18/30 + 10/30
  H₃ = h₁ + h₂ + h₃ = 18/30 + 10/30 + 2/30 = 1

[MATEMATICAS] Estadística 2 – Organización de los datos

Es muy común el uso de variables en estadísitca y las clasificamos como:

• Variables cualitativas: de tipo nominal. Ej: grupo sanguíneo, A,B,AB,O.
• Variables cuasicuantitativas y ordinales: son variables nominales que se pueden establecer un orden entre ellas. Ej: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno, puntuar dolor (1 a 5). Es mejjor evitar realizar operaciones algebráicas con estas cantidades.
• Variables cuantitativas o numéricas: son de modalidade numéricas y pueden ser distinguidas en dos grupos:
  a) Discretas: no admiten siempre una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de sus modalidades. Ej. número de hijos de una población de familias: 0,1,2,3,4,5,…
  b) Continuas: admiten una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de sus modalidades, Ej. el peso X de un niño al nacer.
  Hay algunas de esas variables que pueden aparecer como discreta, en este caso hay limitaciones en la precisión del aparato de medida. Ej. altura en metros de personas: 1.50, 1.51, 1.52, 1.53, …

Resumen:

• Variable cualitativa: Aquella cuyas modalidades son de tipo nominal.
• Variable cuasicuantitativa: Modalidades de tipo nominal, en la que existe un orden.
• Variable cuantitativa discreta: Sus modalidades son valores enteros.
• Variable cuantitativa continua: Sus modalidades son valores reales.

[MATEMATICAS] Estadística 1 – Conceptos básicos

Voy a empezar una serie sobre estadística para alumnos de carreras afines…

La Estadística es la ciencia definida como el conjunto de procedimientos o técnicas que nos permiten recopilar, organizar e interpretar ciertos datos relacionados con un evento específico, con la finalidad de obtener conclusiones, las que nos llevan a la toma de algunas decisiones.

Conceptos previos:

• Población: Conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades comunes
• Individuos o elementos: personas u  objetos que contienen cierta información que se desea estudiar.
• Muestra: subconjunto representativo de una población.
• Parámetro: función definida sobre los valores numéricos de características medibles de una población.
• Estadístico: función definida sobre los valores numérios de una muestra.

En relación al tamaño de la población, ésta puede ser:

• Finita: como es el caso del número de personas que llegan al servicio de urgencia de un hospital en un día;
• Infinita: si por ejemplo estudiamos el mecanismo aleatorio que describe la secuencia de cara y cruces obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda al aire

Otras:

• Caracteres: propiedades, rasgos o cualidades de los elementos de l población. Estos caracteres pueden dividirse en cualitativos y cuantitativos.
• Modalidades: diferentes situaciones psobles de un carácter. Las modalidades deben ser a la vez exhaustivas y mutuamente excluyentes – cada elemento posee una y sólo una de las modalidades posibles.
• Clases: conjunto de una o más modalidades en el que se verifica que cada modalidad pertenece a una y sólo una de las clases.

[MATEMATICA] Programación matemática 1

Programación Matemática – PM
Introducción – La Investigación Operativa

• La investigación operativa es una aplicación del método científico para problemas que afectan al control de sistemas organizados, ofreciendo soluciones más interesantes para una organización en particular.
• Es un conjunto de técnicas y métodos matemáticos que ayudan a la toma de decisiones en las operaciones de organizaciones.
• Se puede aplicar a los problemas dónde es necesario especificar de forma cuantitativa, la gestión y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización.
• La naturaleza de la organización puede ser financiero, industrial, gobierno, militar, etc.
• En 1949, George B. Dantzig presentó el Método Simplex para solucionar problemas de optimización lineal (ecuaciones y/o desigualdades lineales). Según lo propuesto por el Método Simplex, trabajó como consultor en Matemáticas en el control de la Fuerza Aérea de EE.UU.
• La programación Matemática consiste básicamente de: Optimización lineal, Optimización no lineal, Optimización entero, Optimización dinámica, y otros.
• Procesos Estocásticos: Teoría de Filas, Inventarios, Teoría de Simulación.

Construyendo un modelo matemático

• Escuchar la persona que trata con el problema real
• Saber lo que debe ser determinado (variables del problema)
• Saber lo que está disponible (datos del problema)
• Reproducir los caminos que conducen a una solución (ecuaciones)

Problema de Optimización

• La búsqueda de una mejor solución entre varias alternativas lleva los elementos de un Problema de Optimizacion:
  
• Un criterio para evaluar las soluciones alternativas, que nos permite una solución que es “mejor” que otra (objetivo o subjetivo)
• Este criterio de evaluación es llamado de función objetivo, que busca optimizar, es decir, a maximizar o minimizar.
• Además, las soluciones alternativas deben ser aplicables de forma real, indicando la presencia de restricciones que deben ser respetadas.
• De lo contrario: tenemos una función f, llamada función objetivo, de la categoría de soluciones alternativas Ω:
  Un problema de otimización matemática es definido por:                                                                                                             min f(x) x ∈Ω
• Dependiendo del comportamiento de f(x) y, de cómo tal conjunto Ω es descrito, tenemos diferentes tipos de problemas de optimización, entonces para los cuales una variedad de métodos de solución han sido desarrollados: Optimización linear, Optimización no lineal, Optimización entero, Control óptimo.

Programación Matemática – Aplicaciones

• Industria del petróleo: extracción, refinación, mezcla y distribución.
• Industria alimentaria: alimentos para animales (el problema de la mezcla), planificación de la producción: tamaño del lote (¿qué?, ¿cuándo?, ¿cuándo producir?).
• Industria del acero: aleaciones de metales (problema de la mezcla).
• Industria del papel: optimización del proceso de corte de bobinas.
• Industria del mueble: optimización del proceso de corte de placas rectangulares.
• Aplicaciones financieras (Inversiones): optimización del flujo de caja, análisis de las inversiones de cartera, etc.

[MATEMÁTICA] Desafio 1

Coloque los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los cuadrados para que la suma de los 3 dígitos de cualquier recta y cualquier diagonal tenga como resultado 15.

[MATEMÁTICA] ¿Para qué me sirve las matemáticas?

Con mucha frecuencia los alumnos preguntan a sus maestros ¿y esto para qué sirve? y creo que no es una mala pregunta.
En realidad, los profesores de matemáticas deben se preocupar también con las aplicaciones prácticas.
Voy a intentar enseñar algunas cosas prácticas de la vida cotidiana utilizando Álgebra Lineal.

Trés propietarios de casa – albañil, electricista y hidráulico – quieren arreglar sus casas.  Ellos quieren trabajar en lo máximo 10 dias de acuerdo a la tabla abajo:

 

	Trabajo hecho por
	Albañil	Electricista	Hidráulico
Días de trabajo en la casa del albañil	2	1	6
Días de trabajo en la casa del electricista	4	5	1
Días de trabajo en la casa del hidráulico	4	4	3

Por impuestos, tienen que declarar y pagar un otro sueldo por el trabajo que cada uno hizo en su propia casa. Sus pagos diarios seran de S/. 100.00, pero ellos quieren ajustar sus sueldos diarios de forma que sean lo mismo, o sea, que el total pago para cada uno sea igual al total recibido. Entonces se queda así:

p1 = sueldo diario del albañil
p2 = sueldo diario del electricista
p3 = sueldo diario del hidráulico

Para que los sueldos sean «equilibrados», entonces,

total de gastos = total recibido

para cada uno de ellos por el periodo de diez días.  Por ejemplo , el albañil paga un total de 2p1 + p2 + 6p3 por los arreglos en su propia casa y recibe un total de 10p1 por los arreglos de hizo en las trés casas. Igualando estas expresiones tenemos la primera de las trés ecuaciones siguientes:

2p1 + p2 + 6p3 = 10p1
4p1 + 5p2 + p3 = 10p2
4p1 + 4p2 + 3p3 = 10p3

Las dos otras ecuaciones son las ecuaciones de equilibrio para el electricista y el hidráulico.
Dividiendos estas ecuaciones entre 10 y reescribiendo en forma de matriz, obtenemos:

0.2 0.1 0.6    p1       p1
0.4 0.5 0.1    p2  =  p2
0.4 0.4 0.3    p3       p3             (1)

Restando el lado izquiero del derecho, podemos reescribir la ecuación (1) como un sistema homogéneo.

0.8   -0.1  -0.6    p1         0
-0.4   0.5   -0.1   p2   =   0
-0.4  -0.4   0.7   p3          0

La solución de este sistema homogéneo es:

p1                 31
p2   =   s     32
p3                36

donde s é una constante arbitraria. Esta constante es un factor de escala que los propietarios pueden elegir de acuerdo a su conveniencia. Por ejemplo, pueden poner s = 3, para que los sueldos diarios, es decir,  S/ 93, S/ 96 y S/ 108 son aproximadamente S/. 100.00.
Este ejemplo ilustra las principales características del modelo de Leontief de output-input. En la ecuación fundamental (1), la suma de cada clumna de la matriz de coeficientes es 1, que corresponde al hecho de que el producto («output») de la obra de cada uno de los propietarios, es totalmente distribuida entre los mismos propietarios en las proporciones indicadas por las entradas de la columna. Nuestro problema es determinar el «precio» de estas obras para poner este sistema en equilibrio, o sea para que el gasto total de cada propietarios sea igual al total recibido en sueldo.